[轉摘]破解費瑪最後定理

 

◇破解費瑪最後定理
　　是怎樣的一種熱情，讓一個十歲的男孩決定獻身給數學?數學一定有他今人著迷的地方，就像所有的藝術一樣，數學不只是一門科學，它更是一種藝術，許多的數學家都無形中透露了數學的魅力，就像安德魯．懷爾思(Andrew Wiles)對費瑪最後定理的堅持一樣，在他十歲時，他只是看懂什麼是費瑪最後定理，但他卻決定從此獻身給數學。這個二百多年來困擾著所有數學家的定理，其實它只是一個很淺顯易懂的定理--畢氏定理的延伸，但卻讓二百多年來的所有數學家都束手無策。本書中詳細地介紹了費瑪最後定理的來龍去脈:本來學數學和沒學數學的人是生活在不同的世界的，但是本書作者卻用最簡單的文字讓這世界所有人都知道費瑪最後定理是怎樣的一個傳奇故事，它激發起了更多數學家的熱心，也讓不懂數學的人更了解數學是一門怎樣讓人著迷的學問。
　　畢氏定理可說是數學上最偉大的發現之一，畢氏定理是由畢達哥拉斯所發現的，是個很漂亮的定理，它說明了任何直角三角形的邊長都有兩股平方的和等於斜邊平方。

也就是x²十y²=z²有整數解。

在畢達哥拉斯那個時代，數學是等於哲學的，畢達哥拉斯更說:「萬物皆是數。」但他們所認為的數只有整數和某些分數，他們並不認識所謂的無理數。很不幸的，第一個無理數就是由畢氏定理發現的，當一個直角三角形約兩股為l時，這時候斜邊的邊長就是2的開方了。但2並無法開方。在當時，畢達哥拉斯當然不願去承認這個數來破壞他建立的世界，所以畢達哥拉斯處理2開方的做法就是將發現2開方的那個人處死，這是畢達哥拉斯一生最大的羞辱。但畢達哥拉斯對數學的貢獻仍是不可抹滅的。當然他也不會想到幾千年後，一個叫費瑪(Pierre de Fermat)的業餘數學家會對他的畢氏定理特別有興趣，而更因此將數學帶到一個更高的境界。
　　費瑪雖然只是一個業餘數學家，但是他對數字特別敏感，在數學上的貢獻也不輸給別的數學家。曾經有人編寫過業餘數學家的數學史事，卻沒將費瑪編列，因為他認為費瑪是如此的傑出，已經可以稱得上是專業數學家了。當年，費瑪讀到畢氏定理時，他便想如果將平方再往上一格變立方，那還會有解嗎?他更進一步的想，

當xⁿ十yⁿ=zⁿ，n≧3時，會有整數解嗎?

這是個很迷人的問題，因為它是如此的單純，每個人都可以了解題目的意義，但是它又是如此的困難，因為它牽涉到整數的無窮量，而且它真的沒有整數解。在當時，費瑪便在他研讀的書中寫下「我有一個對這個命題十分美妙的證明，但是因為這裡空白太小了，我無法寫下」。
　　很可惜的是在費瑪死後，我們找遍了他的札記也找不到這個美妙證明。費瑪像是跟所有專業數學家開了一個玩笑一般，他竟留下一個他認為已經可以證明的猜想，而三百多年來竟沒有一個專業數學家能解決它。這就是費瑪，他不習慣去研究證明中的每個小細節，他總是能觀察到數學，為了他能繼續研究他所熱愛的數學，他將證明這種繁瑣工作交給別人。而這一次他所留下的竟是這樣的一個大問題，也因此引起了許多數學家的興趣，後來的幾個大數學家都曾嘗試去證明費瑪最後定理，但都告失敗。這也不是沒有好處，因為如此數論得到了很好的進展。當中還發生了一些有趣的小故事。例如:沃爾夫斯凱爾(Paul Wolfskehl)並不是什麼偉大的數學家，但他卻和費瑪最後定理有著不可割捨的關係。話說當時沃爾夫斯凱爾正迷戀著一位女性，很遺憾的是他被拒絕了，想不開的他決定要自殺，而且很謹慎地計畫他的死亡，最後他決定了自殺的日子，並打算在午夜時開槍射擊自己的頭部。沃爾夫斯凱爾是如此謹慎小心的人，以至於自殺當天他提前在午夜就將所有的事情都弄好了。為了消磨這段時間，他到圖書館看數學古籍，就這樣他被一系列有關費瑪最後定理的東西給迷住了，甚至他認為他找到了庫默爾在解釋何西和拉梅失敗的原因上的一個漏洞。沃爾夫斯凱爾是如此的專心，以致於他錯過了他自殺的時間。直到黎明，沃爾夫斯凱爾才完成他的工作，他補起了庫默爾的漏洞，但是費瑪最後定理依舊不可解。數學重新喚起了沃爾夫斯凱爾的生命欲望，就這樣沃爾夫斯凱爾改寫了他的遺囑，他決定將他財產中的十萬馬克當做一個獎，給任何能證明費瑪最後定理的人。這個誘惑是如此的大，一下子許多是與不是的數學家都投入費瑪最後定理的工作。這可能是費瑪最後定理最有意義的地方，因為它救活了一個人，也因此費瑪最後定理的身價大為提高。

懷爾斯所發表的證明之第一頁，整個證明有一百頁以上。

　　其實近三百多年，關於費瑪最後定理的傳說很多，在在都說明它的困難'性，或許我們會不斷想知道當初費瑪那個美妙證明到底是如何證的，竟讓三百多年來的許多數學家都束手無策。當年費瑪懂的並沒有今日的我們多，他是如何看出當xⁿ十yⁿ=zⁿ,n≧3時，沒有整數解的呢?對於這樣的一個數學怪傑，除非他活過來，不然我們永遠也不會知道那個證明有多美妙!安德魯．懷爾思，在1993年公開表示他已經證明費瑪最後定理了。這是讓許多數學家很興奮的一件事，這個數學家幾乎要放棄了的猜想，終於有人要終止它了。沒錯，安德魯．懷爾思就是那個當年只有十歲就立志要獻身給數學的小孩。安德魯．懷爾思邁向數學家的過程並不難，但是研究費瑪最後定理的確讓安德魯．懷爾思吃足了苦頭。為了能專心研究，安德魯．懷爾思有長達七年的時間不參加任何跟費瑪最後定理無關的研討會或餐會，當時他已經有了一些年紀了，在數學界，研究是屬於年輕人的事，而老年人則適合寫書和教書。而所謂的老年人指的是25歲以後的數學家。數學家的數學壽命是很短暫的，所以當年已經25歲的安德魯．懷爾思開始不參加數學研討會，也沒多少人覺得有異樣。就這樣，安德魯．懷爾思可以安心地做他的研究工作，只要跟費瑪最後定理有關的東西，他都拿來研讀，直到自己能靈活運用為止。他是這麼的堅持，但他也會害怕，怕自己做的原來就是個錯的東西。數學就是這樣，在還不能證明它之前，什麼都是冒險的。只有完完整整的證明它，我們才可能予以它存在。這也是跟其他學科很大的不同點，數學不會像物理一般，不斷地被推翻，物理現象在不斷的發現過程中，會發現過去承認的東西有時是錯的。數學不會，雖然我們不能證明，但我們相信。其實數學上也曾經發生過許多的爭議，如非歐幾何和歐氏幾何的不相容，但這都無傷整個數學的發展。安德魯．懷爾思在研究費瑪最後定理時，偶爾報上也會出現有關費瑪最後定理的報導，總是令安德魯．懷爾思緊張一下。但是還好，在1993年，安德魯‧懷爾思還是站上了講臺，向臺下來自世界各地兩百個數學家講解費瑪最後定理的證明，聽說當時只有四分之一的人還知道安德魯‧懷爾思到底說些什麼。這的確是很大的一個挑戰，安德魯‧懷爾思完成了數學上最難的難題但安德魯‧懷爾思也不是一次就完成費瑪最後定理的。那次講解還出現了一些爭議，幸好最後還是給解決了，這也是安德魯成功的地方，從來沒人能在給出證明後，還能補救自己證明的缺陷。

懷爾斯發表了費瑪最後定理的證明後，《紐約時報》報導了他的證明。

　　是的費瑪最後定理解決了，只是一個十七世紀的問題我們用二十世紀的方法解決。有人說費瑪當年的那個美妙證明一定還是有缺陷，只是費瑪自己沒能完整寫出來，也或許費瑪已經發現他的證明有缺陷，所以他沒留下任何關於這個定理的證明。不管如何，二十世紀的安德魯‧懷爾思確實解決它了，但能了解證明過程的卻只是少數，數學耐人尋味的地方就在這裡，一個誰都懂的定理卻要花上所有數學家三百多年的時間。反而有時候看似很難的東西，用數學一下子就解出來了。也難怪有人研究數學可以到廢寢忘食的地步。同樣的對數學不感興趣的人，就是覺得數學只是一些強詞奪理。
　　曾經有人就問，我們是因為知道1，2，3..，所以才有所謂Xⁿ，如果我們的世界只有0和1，那是不是Xⁿ永遠不可能出現？也有人質疑我們到底是硬造出數學來符合一些我們要的東西？還是數學本來就存在，我們只是把它條理化，讓它更易懂？畢竟對不懂數學的人而言，微積分像是天書一般難。

 

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本文作者：林秋華（就讀於師範大學數學所）
原文刊載於：科學月刊　第二十九卷第七期   頁610-613